Оглавление

Введение

I. Не совсем для чайников: что содержит книга

II. Для «чайников» и не только: о чём эта книга

В.1. Вводные замечания

В.2. Симметрия волновых функций

В.3. Случай оператора Штурма

В.4. Случай оператора Шредингера

В.5. Разрешённые и запрещённые переходы

В.6. Переходы и симметрия

В.7. Переходы для оператора Штурма

В.8. Переходы для оператора Шредингера

В.9. Принцип Паули

Часть I.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Глава 1.

Основные понятия

1.1. Группа. Примеры групп

   1.1.1. Преобразования симметрии квантовых систем

   1.1.2. Что такое группа?

   1.1.3. Конечные группы

   1.1.4. Бесконечные группы

   1.1.5. Лемма о сдвиге

1.2. Подгруппа. Смежные классы

   1.2.1. Подгруппа

   1.2.2. Смежные классы

1.3. Классы сопряжённых элементов

   1.3.1. Определение классов

   1.3.2. Классы сопряженных элементов группы чистых вращений

   1.3.3. Классы сопряженных элементов полной группы вращений

   1.3.4. Классы сопряженных элементов подгруппы

1.4. Инвариантная подгруппа

   1.4.1. Определение

   1.4.2. Фактор- группа

Глава 2.

Изоморфизм и гомоморфизм.

Представления групп

2.1. Изоморфные группы

   2.1.1. Изоморфизм групп

   2.1.2. Гомоморфизм групп

2.2. Конечномерные представления групп

   2.2.1. Определение представления

   2.2.2. Эквивалентные представления

2.3. Представления в пространствах со скалярным произведением

   2.3.1. Унитарные операторы и матрицы

   2.3.2. Существование унитарного представления

2.4. Представления групп в задачах квантовой механики

   2.4.1. Инвариантность гамильтонианов при преобразованиях симметрии

   2.4.2. Представления групп симметрии в собственных подпространствах

Глава 3.

Приводимые и неприводимые представления

3.1. Приводимые представления и их разложение на неприводимые

   3.1.1. Определения приводимых и неприводимых представлений

   3.1.2. Разложение пространства представления

3.2. Леммы Шура

   3.2.1. Первая лемма Шура

   3.2.2. Вторая лемма Шура

3.3. Соотношения ортогональности

   3.3.1. Случай неэквивалентных представлений

   3.3.2. Случай эквивалентных представлений

   3.3.3. Общая формулировка результатов в терминах унитарных пространств

Глава 4.

Теория характеров

4.1. Характеры и их свой ства

   4.1.1. Определение и простейшие свой ства характеров

   4.1.2. Характеры классов сопряженных элементов

   4.1.3. Характеры неприводимых представлений — ортонормированные векторы

   4.1.4. Разложение приводимых представлений на неприводимые с помощью характеров

4.2. О числе неприводимых представлений и их размерностях (теоремы Бернсайда)

   4.2.1. Первая теорема Бернсайда

   4.2.2. Вторая теорема Бернсайда

   4.2.3. Применение теорем Бернсайда    

Глава 5.

Алгебра теории представлений.

Простые приложения

5.1. Базисные функции неприводимых представлений

   5.1.1. Определения

   5.1.2. Построение канонического базиса неприводимого представления

5.2. Свой ства операторов P_ji^(α) и P^(α)

   5.2.1. Свой ства операторов P_ji^(α)

   5.2.2. Свой ства операторов P^(α)

   5.2.3. Важные замечания

5.3. Свой ства функций канонических базисов

и оценка матричных элементов (простое правило отбора)

   5.3.1. Свой ства канонического базиса

   5.3.2. Оценка матричных элементов

   5.3.3. Разрешённые и запрещённые переходы с учетом симметрии

   5.3.4. Простое правило отбора

5.4. Разложение пространства представления

   5.4.1. Стандартный подход

   5.4.2. Альтернативный вариант

Глава 6.

Прямое (тензорное) произведение матриц и представлений.

Прямое произведение групп

6.1. Облегчающий пример

6.2. Тензорное произведение и его свойства

   6.2.1. Тензорное произведение пространств, матриц и операторов (определения)

   6.2.2. Свой ства тензорного произведения матриц

6.3. Тензорное произведение представлений

   6.3.1. Свой ства тензорного произведения представлений

   6.3.2. Разложение тензорного произведения неприводимых представлений

6.4. Прямое произведение групп и его представления

   6.4.1. Облегчающий пример

   6.4.2. Определение прямого произведения групп

   6.4.3. Прямое произведение представлений перемножаемых групп

   6.4.4. Связь неприводимых представлений прямого произведения групп с неприводимыми представлениями групп-сомножителей

Глава 7.

Разрешённые и запрещённые переходы

7.1. Обобщённое правило отбора

   7.1.1. Постановка задачи

   7.1.2. Предварительные результаты — 1

   7.1.3. Предварительные результаты — 2

   7.1.4. Окончательные выводы и формулировки

7.2. Правила отбора: примеры

   7.2.1. Группа D₃ и её представления

   7.2.2. Правила отбора для группы D₃, когда возмущение — оператор

электрического дипольного момента

Часть II.

ТОЧЕЧНЫЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ

И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Глава 1.

Точечные группы и их представления

1.1. Определения. Сопряжённые элементы групп и подгрупп

1.2. Группы C_n, C_nh

1.3. Группа C_nv

1.4. Группы D_n, D_nh

1.5. Группа D_nd

1.6. Группы симметрии тетраэдра: T, T_d

1.7. Группы симметрии октаэдра: O, O_d

Глава 2.

Cимметрия кристаллов

2.1. Бесконечный кристалл и его симметрия

2.2. Конечный кристалл. Условие Борна — фон Кармана

2.3. Обратная решётка. Зона Бриллюэна

2.4. Теорема Блоха. Правила отбора для трансляционной симметрии

Глава 3.

Пространственные группы и их представления

3.1. Пространственные группы кристаллов без включений и с включениями

3.2. Разбиение пространства неприводимого представления

пространственной группы. Звезда вектора k

3.3. Группа вектора k. Малые представления

Глава 4.

Построение представлений пространственной группы

4.1. Восстановление «большого» представления по известному малому

4.2. Построение представлений пространственной группы

4.3. Как это работает: пример

Список литературы