Оглавление

Предисловие

Глава 1. 

Общие вопросы 

1.1.    Численное моделирование 

1.2. Погрешность вычислений 

1.3. Корректность вычислений 

1.4. Элементарные вычисления 

1.4.1. Возведение в степень 

1.4.2. Полиномы и цепные дроби

1.4.3. Повышение сходимости рядов 

1.4.4. Рекуррентные соотношения и суммы 

Глава 2. 

Системы линейных уравнений 

2.1. Определения и свойства матриц 

2.2. Метод исключения переменных 

2.3. Улучшения метода Гаусса 

2.4. Разреженные матрицы 

2.4.1. Прогонка для трехдиагональных матриц 

2.4.2. Прогонка для пятидиагональных матриц 

2.4.3. Формула Шермана–Моррисона 

2.4.4. Циклическая прогонка 

2.5. Итерационные методы 

2.5.1. Метод простой итерации 

2.5.2. Псевдо-собственные числа 

2.5.3. Метод Гаусса–Зайделя 

2.6. Метод отражений 

Глава 3. 

Собственные значения и векторы 

3.1. Элементы общей теории 

3.2. Метод Якоби 

3.3. Метод QR-итераций 

3.4. Частичная проблема собственных значений 

3.4.1. Метод линеаризации 

3.4.2. Степенной метод

Глава 4. 

Системы нелинейных уравнений

4.1. Локализация корней

4.2. Интервальные методы 

4.2.1. Метод деления пополам 

4.2.2. Методы хорд и прочие 

4.3. Метод простых итераций 

4.4. Метод Ньютона 

4.4.1. Метод секущих 

4.4.2. Метод Мюллера 

4.5. Метод спуска 

4.6. Улучшение метода Ньютона 

4.7. Сравнение сходимости методов 

4.8. Корни полиномов 

Глава 5. 

Поиск минимума функции 

5.1. Метод золотого сечения 

5.2. Метод парабол 

5.3. Метод Брента 

5.4. Метод спуска 

5.5. Метод переменной метрики 

5.6. Сопряженные направления 

5.7. Метод оврагов 

5.8. Минимизация с ограничениями 

Глава 6. 

Интерполяция данных 

6.1. Линейная интерполяция 

6.2. Интерполяция полиномами 

6.3. Точность интерполяции полиномами 

6.4. Полиномы Чебышева 

6.5. Рациональная интерполяция 

6.6. Локальная интерполяция 

6.6.1. Табличные функции 

6.6.2. Кусочно-линейная интерполяция 

6.6.3. Триангуляция Делоне 

6.6.4. Локальный сплайн 

6.7. Глобальный сплайн 

6.8. Многомерная интерполяция 

6.9. Кривые Безье 

Глава 7. 

Аппроксимация функций 

7.1. Среднеквадратичная аппроксимация 

7.2. Метод наименьших квадратов 

7.3. Линейная регрессия 

7.4. Сглаживание данных 

7.5. Логистическая регрессия 

7.6. Метод итерированного веса 

7.7. Аппроксимация Паде 

7.8. Выбросоустойчивая аппроксимация 

Глава 8. 

Численное дифференцирование 

8.1. Проблемы численного дифференцирования 

8.2. Использование интерполяции 

8.3. Метод Рунге–Ромберга 

8.4. Регуляризация дифференцирования 

8.5. Вычисление лапласиана 

Глава 9. 

Численное интегрирование 

9.1. Формулы трапеций и средних 

9.2. Формулы Симпсона и Боде 

9.3. Формула Эйлера–Маклорена 

9.4. Процесс Эйткена 

9.5. Формула Гаусса–Кристоффеля 

9.6. Метод Филона 

9.7. Интегралы с особенностями 

9.7.1. Переменный предел интегрирования 

9.7.2. Несобственные интегралы 

9.7.3. Кратные интегралы 

9.8. Метод Монте-Карло 

Глава 10. 

Дискретные преобразования 

10.1. Дискретное преобразование Фурье 

10.2. Быстрое преобразование Фурье 

10.3. Варианты преобразования Фурье 

10.3.1. Преобразование Фурье действительных функций

10.3.2. Синус-преобразование 

10.3.3. Косинус-преобразования 

10.4. Применение преобразования Фурье 

10.4.1. Огибающая функции

10.4.2. Тригонометрическая интерполяция 

10.4.3. Свертка функций 

10.4.4. Улучшение изображений 

10.4.5. Оптимальная фильтрация 

10.5. Оконное преобразование Фурье 

10.6. Вейвлет-преобразование 

Глава 11. 

Обыкновенные дифференциальные уравнения 

11.1. Общие сведения 

11.2. Метод Эйлера 

11.3. Метод Рунге–Кутта 2-го порядка 

11.4. Метод Рунге–Кутта 4-го порядка 

11.5. Метод Рунге–Кутта с подбором шага 

11.6. Регуляризация уравнений 

11.7. Быстропеременная правая часть 

11.7.1. Метод усреднения 

11.7.2. Быстрые и медленные движения 

11.7.3. Особые точки 

11.8. Специальные методы 

11.8.1. Метод Адамса 

11.8.2. Уравнения 2-го порядка 

11.8.3. Неявные схемы 

11.8.4. Метод Пикара 

Глава 12. 

Уравнения в частных производных 

12.1. Классификация уравнений 

12.2. Точные решения 

12.3. Вариационное приближение 

12.4. Сеточные методы 

12.5. Метод операторной экспоненты 

12.6. Разностные методы 

12.6.1. Метод разностной аппроксимации 

12.6.2. Интегро-интерполяционный метод 

12.6.3. Метод неопределенных коэффициентов 

12.7. Устойчивость схем 

12.7.1. Метод разделения переменных 

12.7.2. Принцип максимума 

12.7.3. Примеры неустойчивостей 

12.8. Сходимость схем 

12.9. Явные разностные схемы 

12.10. Граничные условия 

12.11. Параболические уравнения 

12.12. Уравнение переноса 

12.12.1. Схемы бегущего счета 

12.12.2. Монотонные схемы 

12.12.3. Диссипативные схемы 

12.12.4. Ложная сходимость 

12.13. Волновое уравнение 

12.13.1. Схема «крест» 

12.13.2. Неявная схема 

12.13.3. Двухслойная акустическая схема 

12.13.4. Инварианты 

12.14. Уравнения гидродинамики 

12.14.1. Схема расчета 

12.14.2. Метод частиц-в-ячейках 

12.14.3. Метод Лакса–Вендроффа 

Глава 13. 

Краевые задачи 

13.1. Метод стрельбы

13.2. Метод установления 

13.3. Вариационный метод 

13.4. Обоснование вариационного метода 

13.5. Метод конечных элементов 

Глава 14. 

Интегральные уравнения 

14.1. Виды интегральных уравнений 

14.2. Разностный метод 

14.3. Метод итераций 

14.4. Замена вырожденным ядром 

14.5. Регуляризация некорректных задач 

Приложение A. 

Случайные числа 

A.1. Простейшие генераторы 

A.2. Современные генераторы 

A.3. Распределения случайных чисел 

A.3.1. Метод трансформаций 

A.3.2.Метод отношения однородных

Приложение B. 

Элементы статистической обработки данных 

B.1. Моменты распределения 

B.2.Моменты функции 

B.3. Корреляционная функция 

Список литературы