Оглавление

Предисловие

Глава 1.

Уравнения в частных производных первого порядка

Глава 2.

Уравнения с частными производными второго порядка

Глава 3.

Задача Штурма — Лиувилля

3.1. Постановка краевых задач

3.2. Самосопряженные дифференциальные уравнения

3.3. Собственные числа и собственные функции задачи Штурма — Лиувилля

Глава 4.

Классические ортогональные полиномы

4.1. Ортогональные системы функций

4.2. Ортогонализация системы функций

4.3. Ортогональные полиномы

4.4. Полиномы Лежандра

4.5. Полиномы Чебышёва

4.6. Полиномы Якоби

4.7. Полиномы Лагерра и обобщенные полиномы Лагерра

4.8. Полиномы Эрмита

Глава 5.

Специальные функции5.1. Цилиндрические функции

5.1.1. Уравнение Бесселя

5.1.2. Основные свой ства Гамма-функции

5.1.3. Построение функции Бесселя в виде обобщенного степенного ряда. Метод Фробениуса

5.1.4. Функции Бесселя полуцелого аргумента

5.1.5. Интегральное представление функций Бесселя

5.1.6. Функции Ханкеля. Связь между функциями Ханкеля и Бесселя

5.1.7. Краевые задачи для уравнения Бесселя

5.2. Сферические функции

5.2.1. Присоединенные функции Лежандра. Краевые задачи для присоединенных функций Лежандра

5.2.2. Определение сферических функций, простейшие свой ства

5.2.3. Шаровые функции. Применение к решению краевых задач

Глава 6.

Уравнения гиперболического типа

6.1. Однородное волновое уравнение (уравнение поперечных колебаний струны)

6.2. Метод Фурье (метод разделения переменных)

6.3. Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера

6.4. Колебания прямоугольной мембраны

6.5. Колебания круглой мембраны

6.6. Телеграфное уравнение

Глава 7.

Уравнения параболического типа

7.1. Уравнение теплопроводности, его физический смысл

7.2. Однородное уравнение теплопроводности для неограниченного стержня

7.3. Краевые задачи для однородного уравнения теплопроводности конечного стержня

7.4. Неоднородное уравнение теплопроводности для неограниченного стержня

7.5. Неоднородное уравнение теплопроводности для ограниченного стержня

7.6. Задача Дирихле для уравнения теплопроводности в прямоугольнике

7.7. Задача Дирихле для уравнения теплопроводности в круге

Глава 8.

Уравнения эллиптического типа

8.1. Потенциал стационарного тока и электростатического поля

8.2. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа

8.3. Решение краевых задач на плоскости методом разделения переменных

8.3.1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

8.3.2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике

8.3.3. Краевая задача для уравнения Пуассона в кольце

8.4. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре

Библиографический список