ВВЕДЕНИЕ

   Механика жидкости, газа и плазмы – обширная область современной науки – существует по крайней мере со времён Архимеда и интенсивно продолжает развиваться в наши дни. Интерес к этой области легко объяснить разнообразными и необходимыми приложениями к навигации, воздухоплаванию, добыче и транспортировке  энергоресурсов, а в последнее время к решению проблем атомной физики и управляемого термоядерного синтеза, освоения космоса, то есть к актуальным вопросам научно-технического прогресса, относящимся к развитию энергетики, транспорта и созданию новых видов техники, в том числе крайне  необходимой  оборонной техники. К этому следует добавить чисто научные, а не исключено, что  в недалёком будущем и прикладные,  интересы к проблемам астрофизики.
    Задачи механики содержат большой объём количественной информации и требуют установления в ней закономерностей. По этой причине механика тесно соприкасается и переплетается с другой, тоже древнейшей, наукой – математикой,  вплоть до того, что часто употребляемые термины «механико-математические» и «физико-математические» воспринимаются как  единые неразрывные понятия. Иными словами,  рабочим языком механики являются математические термины, уравнения, правила и т.п. 
   В частности, современный язык механики жидкости и газа – гидромеханика, точнее, уравнения гидродинамики и газодинамики введён в употребление в XVIII веке  Эйлером и Даниилом Бернулли, а уравнения магнитной газо- и гидродинамики, базирующиеся на той же гидромеханике, работах Ампера и уравнениях Максвелла, – шведским физиком Х. Альфвеном  в середине ХХ века. В результате основной математический аппарат  механики жидкости, газа и плазмы состоит из дифференциальных уравнений с частными производными, нелинейными (точнее, квазилинейными), что существенно отличает их от традиционных линейных уравнений математической физики, изучаемых в университетах и технических вузах. 
   Задачи с уравнениями механики практически во всех случаях не имеют явных так называемых аналитических точных решений. Тем не менее, потребность в их решении со временем быстро возрастает, поскольку оно облегчает и расширяет возможности теоретических исследований и позволяет сэкономить на громоздких дорогостоящих, а иногда и принципиально невозможных экспериментах. Выход из положения может быть только в том, чтобы решать задачи приближенно. Практика такого решения возникла в середине ХХ века и широко распространилась в науке и технике. Она потребовала численных методов решения задач с уравнениями в частных производных, создание и исследование которых определили современное состояние вычислительной математики. Необходимость выполнять огромное число  утомительных однотипных вычислений  вызвала к жизни создание  электронно-вычислительных машин (ЭВМ), немыслимая ранее производительность которых продолжает расти. Применение новой техники привело к созданию  ещё одного нового направления работ – составлению  программ и умению проводить громоздкие расчёты с их помощью, причем требования к программам повышаются по мере увеличения быстродействия вычислительных средств. 
    Приближённое решение математических задач, связанных с научными и техническими проблемами, называют в настоящее время математическим моделированием. Это понятие включает в себя несколько этапов: чёткое понимание цели исследования в терминах исходной проблемы; грамотную постановку задачи в терминах механики и её математического аппарата; создание или выбор из числа известных численного метода приближённого решения задачи; программирование с учётом возможностей  вычислительной техники; проведение расчётов или серии расчётов («вычислительных экспериментов») с разными значениями параметров задачи; обработку  и анализ результатов расчётов с точки зрения первоначально поставленной цели. Отсюда следует, что современный специалист в области математического моделирования должен по крайней мере быть в курсе и правильно ориентироваться во всех перечисленных этапах работы. 
   Цель предлагаемой  книги – помочь начинающим специалистам ориентироваться в вопросах стыковки постановок механико-математических задач и численных методов их решения, то есть уметь грамотно взглянуть на численные методы с точки зрения внутреннего содержания и особенностей задачи и в то же время оценить постановку задачи на предмет возможностей её численного решения. Для этого желательно хорошо чувствовать математическую природу уравнений механики сплошных сред, чтобы учитывать её при постановке прикладных задач  и выборе численных методов, которые предполагается использовать для их решения.
   Автор не ставит перед собой задачи дать подробный обзор современной литературы в рассматриваемой области, но считает нужным назвать ряд источников, которые в той или иной степени относятся к обсуждаемым здесь тематике и методологическим подходам.
   В середине XX века выдающиеся математики, привлеченные к численному решению актуальных задач газодинамики и теплопроводности, обратили специальное внимание на природу и особенности задач с нелинейными дифференциальными уравнениями механики сплошных сред. Соответствующие вопросы и возможные в ту пору ответы составили содержание известных современным специалистам книги Р. Куранта и К. Фридрихса [1]  и обзорной статьи И. М. Гельфанда [2]. В течение десятков лет  в  качестве наиболее распространенных учебных, научных и справочных изданий  пользуются известностью два тома «Теоретической физики» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [3,4] и первая отечественная книга по магнитной газодинамике А. Г. Куликовского и Г. А. Любимова [5]. Среди изданий последнего времени обратим внимание на монографию А. Г. Куликовского, Н. В. Погорелова и А. Ю. Семенова [6], название которой и тематика взаимоотношения задач механики сплошных сред с их математическими моделями представляются автору близкими к предлагаемой книге. Она содержит также обзор численных методов, используемых при решении задач механики сплошных сред. В том же ключе написана небольшая (и без численных методов) книжка Дж. Марсдена и А. Чорина [7]. Заслуживают внимания глубокие по содержанию учебные пособия по механике сплошных сред, составленные физиками по материалам прочитанных ими лекционных курсов: Т. Е. Фабером [8], Ю. П. Райзером [9] и В. П. Крайновым [10]. Любознательному читателю полезно ознакомиться с взглядами разных авторов на одни и те же проблемы и, может быть, сформировать свой собственный взгляд. Перечисленные источники помогут желающим более подробно ознакомиться с интересующими их конкретными задачами. Общая цель названных и неназванных текстов - подчеркнуть непрерывное единство фундаментальных и прикладных аспектов науки.
   Содержание книги структурировано следующим образом.
   Глава 1 посвящена уравнениям газодинамики, как наиболее типичному и в то же время простому объекту механики сплошных сред. Здесь говорится об их физическом и, может быть, даже философском смысле - о законах сохранения. Основное внимание уделено математической природе уравнений, которая в значительной степени определяется характеристиками и разрывными решениями. Указана родственная связь уравнений с хорошо известными линейными уравнениями акустики, переноса и волновым. Приведены некоторые примеры полезных упрощающих предположений, позволяющих более наглядно увидеть существенные общие закономерности исследуемых процессов. Указано место и особенности уравнений механики несжимаемой жидкости в теории уравнений. Отдельный параграф посвящён моделям вязкости и теплопроводности и их влиянию на тип уравнений, постановку задач и методы решения.
   В главе 2 выделен класс автомодельных задач математической физики, которые допускают группу подобных преобразований, в результате чего сокращается число независимых переменных и упрощается процесс решения. Эти задачи представлены, во-первых, задачами газодинамики о течении газа под действием движущегося поршня и в результате сильного взрыва, хорошо известными благодаря выдержавшей много изданий книге Л. И. Седова [11]. Во-вторых, изложена задача о распространении тепла от точечного источника в среде с нелинейной зависимостью теплопроводности от температуры, решенная Я. Б. Зельдовичем и А. С. Компанейцем [12]. Она известна специалистам, но, к сожалению, её трудно встретить в популярной научной или учебной литературе. Два последних параграфа посвящены близким по математическому аппарату задачам газодинамики – о сходящихся сферических ударной волне и полости. Первая из них известна как «задача Гудерлея» по  имени её автора [13] и также редко встречается в литературе (см., например, монографии Е. И. Забабахина [14], Г. И. Баренблатта [15, 16] и А. Н. Крайко [17]). Обе задачи подробно исследованы группой советских авторов под руководством И. М. Гельфанда в 1950-х годах и впервые опубликованы в 1963 году в обзоре К. В. Брушлинского и Я. М. Каждана [18]. Изложение обеих задач следует этому обзору и имеет целью сделать его более доступным современному читателю.
   В главе 3 представлены особенности механики сплошных сред, отличающие полностью ионизованную плазму от электрически  нейтральных газов. Её математический аппарат – магнитная газодинамика (МГД) является естественным расширением и обобщением тех вопросов, которые рассмотрены в главе 1 в применении к газодинамике. Обращено внимание как на единство и общность проблем и подходов в этих разделах механики, так и на специфические особенности, которые магнитное поле, электрический ток и их взаимодействие вносят в МГД-модели среды. Отдельные параграфы посвящены математическим моделям плазмостатики и математической теории устойчивости в плазме, которые весьма актуальны в работах по управляемому термоядерному синтезу. Глава 3 в целом сосредоточена на основных математических проблемах МГД, а примеры конкретных задач лишь иногда кратко упоминаются. Более подробно с МГД-моделями в задачах физики плазмы можно ознакомиться с помощью монографий Ю. Н. Днестровского и Д. П. Костомарова [19], А. И. Морозова [20] и автора [21]. 
   Последняя глава посвящена обзору некоторых основных вопросов, касающихся разностных методов приближённого решения задач механики сплошных сред. Она не претендует на роль систематического учебника по теории разностных схем, в качестве которого можно уверенно рекомендовать, например, книги С. К. Годунова и В. С. Рябенького [22], А. А. Самарского и Ю. П. Попова [23,24], Р. Рихтмайера и К. Мортона[25] и др. Читателю может оказаться интересным популярное изложение основ вычислительной математики В. Ф. Дьяченко [26]. Современные представления о численном решении задач механики и физики изложены в книгах Р. П. Федоренко [27] и М. П. Галанина и Е. Б. Савенкова [28]. Оригинальный численный метод решения задач газодинамики предложен Б. Н. Четверушкиным. Он включает в себя элементы предельного перехода  от кинетических уравнений к моделям сплошной среды и представлен в монографии [29].
   На фоне этого далеко не полного списка достижений наших коллегавтор считает нужным очередной раз напомнить основные положения теории разностных схем, изложенные на примерах простейших линейных уравнений с постоянными коэффициентами, где выкладки могут быть доведены до точных решений и в то же время в простой и наглядной форме видна суть проблемы. В этой части главы использованы материалы ротапринтной брошюры, изданной в МИФИ [30]. Затем сделан акцент на вопросах адекватного расчёта разрывных решений задач механики. Обращено внимание на идею монотонности разностной схемы, высказанную С.  К. Годуновым и реализованную в предложенной им схеме [31] и в более поздних схемах годуновского типа, принадлежащих разным зарубежным авторам.
   В изложении вопросов о разностных методах решения двумерных и трехмерных задач с параболическими и эллиптическими уравнениями и системами мы сосредоточились на экономической эффективности использования известных явных и неявных методов. Здесь уместно упомянуть легко и ясно написанную книгу Н. Н. Яненко [32], которая сегодня,к сожалению, трудно доступна, поскольку ни разу не переиздавалась.
   Содержание книги и изложенные в ней положения определились, во-первых, в процессе работы автора в коллективе Института прикладной математики (ИПМ) имени М. В. Келдыша РАН, в научных планах которого на протяжении многих лет постоянно присутствуют вопросы математического моделирования и расчёты актуальных задач газодинамики, теплопроводности и физики плазмы. Во-вторых, книга отражает многолетний опыт педагогической работы автора в Национальном исследовательском ядерном университете (НИЯУ) МИФИ и на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова, где им прочитаны курсы лекций по теории разностных схем, численным методам, математическому моделированию физических процессов, вычислительной физике плотной плазмы, вычислительной механике сплошных сред. Опираясь на этот опыт, автор надеется, что предлагаемая книга может служить пособием для студентов и аспирантов при изучении представленного в ней материала, а также поможет начинающим преподавателям донести до слушателей изложенное в ней содержание и связанные с ним идеи и взгляды.
  Позиция и взгляды автора формировались в коллективе ИПМ под руководством выдающихся учёных и педагогов М. В. Келдыша, И. М. Гельфанда, А. Н. Тихонова. На постановку и решение математических задач газодинамики оказал большое влияние Я. Б. Зельдович. Расчёты процессов в физике плазмы в связи с разработками новых плазменных установок в Институте атомной энергии имени И. В. Курчатова (ныне НИЦ «Курчатовский институт») инициированы в ИПМ Алексеем Ивановичем Морозовым, который в течение многих лет был автором постановки основных задач и постоянным участником их решения.